Sebastian Böthin

Diplomarbeit 2007 (Download) - Eine Zusammenfassung.

Etwas zum Begriff der algebraischen Varietät

Die Algebraische Geometrie definiert eine Geometrie auf Objekten der kommutativen Algebra. Beispielsweise erzeugt das Polynom x² + y² - z² ein Primideal im Polynomring C[x,y,z] über den komplexen Zahlen. Die zugehörige affine algebraische Varietät ist die Nullstellenmenge, also die Menge aller Punkte (a, b, c) im komplexen euklidischen Raum C³ mit a² + b² - c² = 0, deren Realteil anschaulich gesehen einen Doppelkegel bildet. Dabei ist der ganze Raum selbst wiederum die Nullstellenmenge des Nullpolynoms und jeder einzelne Punkt (a, b, c) ist die Varietät über dem maximalen Ideal, das von den Polynomen x - a, y - b und z - c erzeugt wird. Allgemein entsprechen die Primideale oberhalb des Nullideals inklusionsumkehrend eindeutig den affinen algebraischen Varietäten innerhalb des affinen Raums, und der Koordinatenring einer Varietät ist der Restklassenring C[x,y,z] modulo das definierende Primideal.

Da das Polynom x² + y² - z² homogen ist, d.h. alle Terme vom gleichen Grad sind, ist mit jeder Nullstelle dieses Polynoms auch jeder andere Punkt auf der Geraden durch den Ursprung eine Nullstelle. Somit lässt sich die zugehörige Varietät auch als Objekt in der projektiven Ebene P² sehen, das ist der affine Raum C³ ohne den Ursprung, bei dem alle Punkte miteinander identifiziert sind, die auf der selben Geraden durch den Ursprung liegen. Homogene Polynome definieren also zwar keine Funktionen im projektiven Raum, durchaus aber Nullstellenmengen, nämlich projektive Varietäten.

Algebraische Varietäten werden mit der Zariski-Topologie versehen, deren abgeschlossene Mengen genau die Nullstellenmengen von Polynomsystemen sind. Offene Mengen sind genau die Komplementärmengen von abgeschlossenen Mengen, also ist dadurch zu jeder Koordinate eine offene Menge erklärt, nämlich die Menge aller Punkte, in denen diese von Null verschieden ist. Tatsächlich läßt sich eine solche offene Menge selbst als verallgemeinerte affine Varietät auffassen, deren Koordinatenring die Lokalisierung des Rings C[x,y,z] bei der jeweiligen Koordinatenfunktion bildet, also aus rationalen Funktionen besteht, in denen die Koordinate im Nenner stehen darf. Verklebung dieser 3 offenen Mengen im topologischen Raum C³ entlang der Koordinatenfunktionen bedeutet dann die Identifikation von Punkten außerhalb des Ursprungs, deren Koordinatenvektoren sich nur durch Multiplikation mit einem Skalar unterscheiden. Das Ergebnis der Verklebung ist also genau die projektive Ebene P² als projektive Varietät.

Die Grassmannsche als projektive Varietät

Die Grassmannsche G(k,n) ist die Menge aller k-dimensionalen Unterräume eines n-dimensionalen Vektorraums. Der projektive Raum P^m stimmt somit als Menge mit G(1,m+1) überein. Allgemeiner werden die k-dimensionalen Unterräume im Vektorraum Cⁿ durch die k x n-Matrizen vom Rang k modulo Linksmultiplikation mit invertierbaren Matrizen parametrisiert. Da der Rang genau dann maximal ist, wenn mindestens einer der maximalen Minoren nicht verschwindet und die Determinanten homogene Polynome sind, die mit der Matrizenmultiplikation kommutieren, erhält man so ganz analog zu den Lokalisierungen bei den Koordinatenfunktionen aus den entsprechenden Projektionen auf quadratische Untermatrizen geignete offene Mengen, die sich zu einer projektiven Varietät verkleben lassen. So lässt sich G(k,n) als k (n - k)-dimensionale projektive Varietät auffassen.

Um die Grassmannsche explizit als Nullstellenmenge eines homogenen Primideals zu sehen, ist eine geeignete Einbettung in einen projektiven Koordinatenraum zu definieren. Die naheliegende Methode, die maximalen Minoren als Koordinaten zu wählen, wird Plücker-Einbettung genannt. Das übersichtlichste Beispiel für eine Grassmannsche, die kein projektiver Raum mehr ist, ist G(2,4). Bei 2 x 4-Matrizen sind 6 Minoren relevant, und mit X₁₂, X₁₃, X₁₄, X₂₃, X₂₄, X₃₄ sind die entsprechenden Variablen indiziert. Man erhält folgende definierende Gleichung:

X₁₂ X₃₄ - X₁₃ X₂₄ + X₁₄ X₂₃ = 0

G(2,4) ist jedoch die einzige Grassmannsche, die durch nur eine Gleichung definiert ist.